출처: 네이버블로그/hireducokr 에서 가져왔습니다.
먼저 수학 공부의 큰 방향은 되도록이면 수학을 자연스러운 흐름안에서 이해하려고 노력하십시요. 사실 수학의 많은 정의들은 자연스런 동기에서 만들어진 것들이 많은데, 그 동기를 제대로 알고 나면 개념에 대한 이해도 훨씬 깊어질 뿐 아니라 문제를 풀어가는 과정에서도 중요한 열쇠가 되기도 합니다. 그러니 정의를 배울 때 무작정 암기하지 마시고 제가 강의에서 해드린 설명과 같이 어떤 자연스런 필요에 의해서 생겨났는지 동기도 같이 살피면서 정의들을 공부하시길 추천해 드립니다.
수학을 자연스럽게 이해하는 또 하나의 방법은 여러 수학 과목들 사이에서 유사성이나 연관성을 찾아가면서 공부하는 것입니다. 예를 들어 대수학에서 등장하는 Quotient group 은 정수론에서 배우는 잉여류(Residue class) 를 일반화한 것이 라고 생각하면 훨씬 더 개념이 쉽게 이해되고, 대수학에서 같음을 나타내는 isomorphism, 그리고 그것에 대응되는 위상 수학의 homeomorphism, 미분 기하학의 diffeomorphism 과 같은 개념들을 서로 비교해가면서 공부한다면 여러 수학이 서로 비슷하다는 생각이 들며 내용 전개 또한 자연스럽게 느껴질 것입니다.
세부적인 수학 공부 방법으로는 모든 증명들을 하나하나 꼼꼼히 체크하고 이해하면서 공부하십시요. 저는 제가 강의에서 증명한 모든 것들을 시간만 충분히 주어진다면 전부 스스로 증명할 수 있을만한 수준이 될 때까지 연습하시길 추천해 드리는데, 증명 없이 정리만 받아들이고 문제 풀이만 하는 방식은 매우 위험한 수학 공부 방법입니다. 게다가 그와 같은 방식으로는 절대로 훌륭한 수학 실력이 키워질 수 없는데, 왜냐하면 수학적 사고의 힘은 증명의 아이디어를 이해하고 그 증명을 자기 것으로 소화시키는 과정에서 길러지기 때문입니다. 그리고 정리의 증명을 잘 이해하고 있어야 정리가 함의하는 본질에 대해서도 더 깊이 있는 이해를 할 수가 있습니다. 이와 같은 이유로 저는 모든 증명을 책을 안보고 쓸 수 있는 수준까지 연습하시길 추천해 드립니다.
그럼 어떻게 그 많은 과목들의 증명을 다 외울 수 있을까요?
그것과 관련해서 제가 주로 사용하는 공부 방법을 알려 드리겠습니다.
1. 먼저 증명을 완벽하게 이해하는 것이 우선입니다.
- 여러분들은 수학을 공부하기로 한 이상 수학을 완전무결할 정도로 아주 철저하게 공부하셔야 합니다. 수학은 엄밀함이 가장 중요한 생명이므로 대충 공부해서는 나중에 남는 것이 아무것도 없습니다. 수학을 철저하게 공부한다는 것은 가급적 쉬운 수학 언어를 사용해서 증명을 풀어쓸 수 있게 공부한다는 것을 말합니다. 결국 수학은 정의에서 시작하는 학문이기 때문에 어떠한 수학의 정리도 맨 마지막에 가면 결국 우리가 정의한 용어의 의해 증명이 완결되는 구조로 되어 있습니다. 그러므로 처음에 공부하실 때는 되도록이면 쉬운 초등적인 수학 언어로 풀어서 증명을 하는 습관을 가지십시오. 그러면 그보다 더 상위 수학 용어의 정의도 계속 복습할 수도 있고, 증명이 성립하는 본질적인 이유도 훨씬 더 잘 파악이 될 것입니다.
2. 증명을 뒤에서부터 따라가 보십시오.
-미로 찾기를 할 때, 입구에서 시작하면 출구를 찾기가 어렵겠지만 하지만 끝에서 시작한다면 입구를 쉽게 찾을 수 있습니다. 마찬가지로 증명을 다 꼼꼼히 읽어봤는데 한 줄 한 줄 넘어가는 것은 이해가 되도 전체적인 증명의 아이디어가 한 눈에 잘 들어오지 않는다면 증명을 한번 뒤에서부터 읽어보십시오. 왜냐하면 증명의 마지막은 우리가 도출해 내고 싶은 정리의 내용과 거의 비슷한 모양이기 때문에 결론부터 거꾸로 읽어나가다 보면 이 정리의 증명이 어떤 방식으로 흘러가고 있는지 쉽게 알아차릴 수 있습니다. 그렇게 해서 전체적인 아이디어가 눈에 명확히 보이고 나면 그 다음엔 책을 보지 않고 증명을 복원할 수 있는 수준까지 증명을 외우고 연습하십시오.
3. 증명의 각 key 스텝들을 기억하면서 공부하십시오.
-사람의 기억력은 한계가 있어 한 때 아무리 철저하게 외웠더라도 시간이 지나면 잊혀지기 마련입니다. 게다가 여러분들이 준비하시는 임용 시험은 전공과목만 해도 총 9과목이나 되기 때문에 전공과목의 모든 정리를 다 외우는 것은 거의 불가능에 가깝습니다. 그래서 모든 증명의 디테일까지 일일이 다 기억하는 것을 목표로 삼고 공부하기보다는 30~40분 정도만 주어지면 스스로 생각해서 디테일을 완벽히 다 채울 수 있는 상태가 되는 것을 목표로 삼고 공부하십시오. 이러한 상태를 목표로 공부하는 방법은 다음과 같은데, 먼저 위에서 언급한 1번과 2번의 학습방법을 적어도 두세 번 정도는 반복하십시오. 즉, 1번과 2번의 방법대로 증명을 철저하게 익혔다면 한 2주 정도 있다가 그 증명을 다시 시도해 보십시오. 쉬운 정리라면 증명이 생각날 수도 있지만 조금 복잡하고 어려운 정리라면 잘 생각이 나지 않을 겁니다. 그럼 다시 철저하게 증명을 학습하시고 또 한 2주 있다가 다시 그 증명을 시도해 보십시오. 생각이 나면 다행이지만, 생각이 잘 안 나면 다시 한번 철저하게 학습하시고 그리고 이제부터는 증명의 모든 디테일보다 증명의 두세 가지 key step들만 기억해 두는 연습을 해두십시오. 그럼 다음에 이 정리를 봤을 때 이 key step만 기억이 난다면 예전에 두 번 정도 디테일한 증명을 연습한 것이 도움이 되어 충분히 증명을 완성하실 수가 있을 겁니다.
4. 그림과 같이 증명을 이해하십시오.
-사실 9과목에 나와 있는 모든 증명의 key step을 기억하는 것도 쉬운 일은 아닙니다. 따라서 정리를 봤을 때, 증명을 스스로 생각해 낼 수 있는 상태가 되면 가장 좋은데, 그 때 큰 도움이 되는 것이 바로 증명을 되도록 기하적으로 이해하는 것입니다. 그림은 수식보다 훨씬 기억에 오래남기 때문에 그림이 기억이 나면 증명이 아이디어가 쉽게 떠오르고 거기서 살을 붙여 증명을 완성시켜 나갈 수 있습니다. 그와 같은 이유로 제 강의에서 그림을 그려서 증명하는 법을 그토록 강조하면서 소개시켜 드린 것입니다. 따라서 되도록 책의 증명보다 제가 증명해 드린 방식대로 학습하시길 바라며, 그림과 같이 설명해 드린 것들은 꼭 그림을 기억해 두시기 바랍니다.
수학을 자연스러운 흐름안에서 이해함과 동시에, 아이디어가 담겨있는 그림들을 떠올리며 수학을 공부하는 것, 이는 제가 주로 사용하는 공부 방법이기도 하지만 임용 시험을 준비하시는 여러분들께도 마찬가지로 도움이 되리라 생각합니다.
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대학교에서 배우던 증명방법과 임용의 증명문제 푸는 방법은 다르기때문에 많이 힘드실거라 생각합니다.
임용시험 대비하시는 분들 화이팅입니다.
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