수학 자료들

출처: 네이버블로그/hireducokr 에서 가져왔습니다.

먼저 수학 공부의 큰 방향은 되도록이면 수학을 자연스러운 흐름안에서 이해하려고 노력하십시요. 사실 수학의 많은 정의들은 자연스런 동기에서 만들어진 것들이 많은데, 그 동기를 제대로 알고 나면 개념에 대한 이해도 훨씬 깊어질 뿐 아니라 문제를 풀어가는 과정에서도 중요한 열쇠가 되기도 합니다. 그러니 정의를 배울 때 무작정 암기하지 마시고 제가 강의에서 해드린 설명과 같이 어떤 자연스런 필요에 의해서 생겨났는지 동기도 같이 살피면서 정의들을 공부하시길 추천해 드립니다.

수학을 자연스럽게 이해하는 또 하나의 방법은 여러 수학 과목들 사이에서 유사성이나 연관성을 찾아가면서 공부하는 것입니다. 예를 들어 대수학에서 등장하는 Quotient group 은 정수론에서 배우는 잉여류(Residue class) 를 일반화한 것이 라고 생각하면 훨씬 더 개념이 쉽게 이해되고, 대수학에서 같음을 나타내는 isomorphism, 그리고 그것에 대응되는 위상 수학의 homeomorphism, 미분 기하학의 diffeomorphism 과 같은 개념들을 서로 비교해가면서 공부한다면 여러 수학이 서로 비슷하다는 생각이 들며 내용 전개 또한 자연스럽게 느껴질 것입니다.

세부적인 수학 공부 방법으로는 모든 증명들을 하나하나 꼼꼼히 체크하고 이해하면서 공부하십시요. 저는 제가 강의에서 증명한 모든 것들을 시간만 충분히 주어진다면 전부 스스로 증명할 수 있을만한 수준이 될 때까지 연습하시길 추천해 드리는데, 증명 없이 정리만 받아들이고 문제 풀이만 하는 방식은 매우 위험한 수학 공부 방법입니다. 게다가 그와 같은 방식으로는 절대로 훌륭한 수학 실력이 키워질 수 없는데, 왜냐하면 수학적 사고의 힘은 증명의 아이디어를 이해하고 그 증명을 자기 것으로 소화시키는 과정에서 길러지기 때문입니다. 그리고 정리의 증명을 잘 이해하고 있어야 정리가 함의하는 본질에 대해서도 더 깊이 있는 이해를 할 수가 있습니다. 이와 같은 이유로 저는 모든 증명을 책을 안보고 쓸 수 있는 수준까지 연습하시길 추천해 드립니다.

그럼 어떻게 그 많은 과목들의 증명을 다 외울 수 있을까요?

그것과 관련해서 제가 주로 사용하는 공부 방법을 알려 드리겠습니다.

1. 먼저 증명을 완벽하게 이해하는 것이 우선입니다.

- 여러분들은 수학을 공부하기로 한 이상 수학을 완전무결할 정도로 아주 철저하게 공부하셔야 합니다. 수학은 엄밀함이 가장 중요한 생명이므로 대충 공부해서는 나중에 남는 것이 아무것도 없습니다. 수학을 철저하게 공부한다는 것은 가급적 쉬운 수학 언어를 사용해서 증명을 풀어쓸 수 있게 공부한다는 것을 말합니다. 결국 수학은 정의에서 시작하는 학문이기 때문에 어떠한 수학의 정리도 맨 마지막에 가면 결국 우리가 정의한 용어의 의해 증명이 완결되는 구조로 되어 있습니다. 그러므로 처음에 공부하실 때는 되도록이면 쉬운 초등적인 수학 언어로 풀어서 증명을 하는 습관을 가지십시오. 그러면 그보다 더 상위 수학 용어의 정의도 계속 복습할 수도 있고, 증명이 성립하는 본질적인 이유도 훨씬 더 잘 파악이 될 것입니다.

2. 증명을 뒤에서부터 따라가 보십시오.

-미로 찾기를 할 때, 입구에서 시작하면 출구를 찾기가 어렵겠지만 하지만 끝에서 시작한다면 입구를 쉽게 찾을 수 있습니다. 마찬가지로 증명을 다 꼼꼼히 읽어봤는데 한 줄 한 줄 넘어가는 것은 이해가 되도 전체적인 증명의 아이디어가 한 눈에 잘 들어오지 않는다면 증명을 한번 뒤에서부터 읽어보십시오. 왜냐하면 증명의 마지막은 우리가 도출해 내고 싶은 정리의 내용과 거의 비슷한 모양이기 때문에 결론부터 거꾸로 읽어나가다 보면 이 정리의 증명이 어떤 방식으로 흘러가고 있는지 쉽게 알아차릴 수 있습니다. 그렇게 해서 전체적인 아이디어가 눈에 명확히 보이고 나면 그 다음엔 책을 보지 않고 증명을 복원할 수 있는 수준까지 증명을 외우고 연습하십시오.

3. 증명의 각 key 스텝들을 기억하면서 공부하십시오.

-사람의 기억력은 한계가 있어 한 때 아무리 철저하게 외웠더라도 시간이 지나면 잊혀지기 마련입니다. 게다가 여러분들이 준비하시는 임용 시험은 전공과목만 해도 총 9과목이나 되기 때문에 전공과목의 모든 정리를 다 외우는 것은 거의 불가능에 가깝습니다. 그래서 모든 증명의 디테일까지 일일이 다 기억하는 것을 목표로 삼고 공부하기보다는 30~40분 정도만 주어지면 스스로 생각해서 디테일을 완벽히 다 채울 수 있는 상태가 되는 것을 목표로 삼고 공부하십시오. 이러한 상태를 목표로 공부하는 방법은 다음과 같은데, 먼저 위에서 언급한 1번과 2번의 학습방법을 적어도 두세 번 정도는 반복하십시오. 즉, 1번과 2번의 방법대로 증명을 철저하게 익혔다면 한 2주 정도 있다가 그 증명을 다시 시도해 보십시오. 쉬운 정리라면 증명이 생각날 수도 있지만 조금 복잡하고 어려운 정리라면 잘 생각이 나지 않을 겁니다. 그럼 다시 철저하게 증명을 학습하시고 또 한 2주 있다가 다시 그 증명을 시도해 보십시오. 생각이 나면 다행이지만, 생각이 잘 안 나면 다시 한번 철저하게 학습하시고 그리고 이제부터는 증명의 모든 디테일보다 증명의 두세 가지 key step들만 기억해 두는 연습을 해두십시오. 그럼 다음에 이 정리를 봤을 때 이 key step만 기억이 난다면 예전에 두 번 정도 디테일한 증명을 연습한 것이 도움이 되어 충분히 증명을 완성하실 수가 있을 겁니다.

4. 그림과 같이 증명을 이해하십시오.

-사실 9과목에 나와 있는 모든 증명의 key step을 기억하는 것도 쉬운 일은 아닙니다. 따라서 정리를 봤을 때, 증명을 스스로 생각해 낼 수 있는 상태가 되면 가장 좋은데, 그 때 큰 도움이 되는 것이 바로 증명을 되도록 기하적으로 이해하는 것입니다. 그림은 수식보다 훨씬 기억에 오래남기 때문에 그림이 기억이 나면 증명이 아이디어가 쉽게 떠오르고 거기서 살을 붙여 증명을 완성시켜 나갈 수 있습니다. 그와 같은 이유로 제 강의에서 그림을 그려서 증명하는 법을 그토록 강조하면서 소개시켜 드린 것입니다. 따라서 되도록 책의 증명보다 제가 증명해 드린 방식대로 학습하시길 바라며, 그림과 같이 설명해 드린 것들은 꼭 그림을 기억해 두시기 바랍니다.

수학을 자연스러운 흐름안에서 이해함과 동시에, 아이디어가 담겨있는 그림들을 떠올리며 수학을 공부하는 것, 이는 제가 주로 사용하는 공부 방법이기도 하지만 임용 시험을 준비하시는 여러분들께도 마찬가지로 도움이 되리라 생각합니다.

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대학교에서 배우던 증명방법과 임용의 증명문제 푸는 방법은 다르기때문에 많이 힘드실거라 생각합니다.

임용시험 대비하시는 분들 화이팅입니다.

고우해커스에서 가져왔습니다.

토플 공부를 시작해보려니 어떻게 공부할 지 막막했는데,

너무 잘 정리해 주셔서 공유해봅니다 :)

안녕하세요 드디어 토플 100점을 넘어서 고우해커스에 후기 작성하러 왔습니다.

지난 5월 29일 첫 토플을 보았습니다.

섹션별 점수는 28/28/23/26 이 나왔네요.

높은 점수는 아니지만 나름 만족스러운 결과였습니다. 

사실은 스피킹을 좀 더 잘봤다고 생각했는데 생각보다 낮게 나왔네요.

후기 겸 몇가지 팁들 드리고자 합니다.

직장인이다 보니 시간이 절대적으로 부족해서 토플 학원을 다니기는 어려웠고 토플 인강도 고려해봤지만

시간을 내기 어렵긴 마찬가지더군요 그래서 저는 해커스 정규 교재 및 actual test 위주로 공부했었습니다. 

어쩌면 이게 교재 광고인지 팁인지 모르게 될것 같기도 하네요.ㅎㅎ

0. 제일 중요한 것은 보카

단어의 중요성은 많은 분들이 알고 계시지만 간과하기 쉬운 부분입니다. 생각보다 어렵고, 시간이 오래 걸립니다.

시간이 많으신 분들은 역시 어원별, 그 다음에 의미별로 단어를 암기하시는 게 좋다고 생각합니다.

예를 들면 to throw라는 뜻을 가진 라틴어 jacere가 포함된 abject, conjecture, deject 같은 단어는 서로 연관시켜가며 외울 수 있고요,

'길을 막다', '방해물을 치우다', ''가로지르다' 등의 어원으로 형성된 단어로 obstinate, obstruct, obviate, intrusive, interdict, thwart... 등등으로 묶을 수 있습니다.

각 단어의 어원은 www.dictionary.com 에 들어가 검색하면 나옵니다. 앱도 있으니 간편하게 볼 수 있고요.

정말 오래 걸립니다. 하루 4시간씩 3개월은 잡으셔야 돼요. 처음에는 효과가 별로 느껴지지 않지만 단어책 하나 한번 훑어 보게 되는 2개월째 단어들의 대강의 뉘앙스가 파악되기 시작하고 그 이후부터 자세한 뜻이 머리에 들어옵니다. 저는 hackers super voca로 공부했지만 토플에는 맞지 않더군요. 정규교재에 수록된 단어들이 관련성이 높은 느낌입니다.

시간이 없으신 분들은 영역별로 가장 중요한 단어들부터 훑으셔야 합니다. 특히 speaking이나 writing의 경우는 자기가 사용할 단어군은 싹 훑고 가주세요.

1. RC

RC 단어는 따로 공부하려면 그만한 헬이 없습니다. 주제 별로 단어를 묶어서 외우시면 조금 편합니다.

토플 지문들의 문장 구성은 아주 복잡하지는 않습니다. 단 밑줄을 그으며 읽을 수 없기 때문에 학교에서 수업듣는것 마냥 문장분석을 할 수 없기 때문에 문제가 되는 거죠.

따라서 토플 리딩 공부법은 A are B (which is C) and D (which is E) 같은 병렬 구조를 눈으로 쫓으면서 읽는 훈련을 합시다. 동사의 수 일치는 이 작업에서 상당한 힌트가 됩니다.

정규 교재에서 제시하는 지문당 12~16분은 약간 빠듯한 수준이고, actual test에서 제시하는 세 지문 60분은 약간 널널한 수준입니다. 이를 감안하시며 훈련하시면 되겠습니다.

실제 시험장에 갈 때는 지문의 서술 순서 대로 문제가 나옵니다. 꼭 지문을 다 읽고 문제를 풀겠다! 는 생각은 안하셔도 됩니다.

자기한테 맞는 방식을 취합시다. 저는 전자가 약간 빠르더군요.

먼저 다 읽고 풀던 지문을 보면서 풀던 문단별로 주제를 note-taking합시다. 마지막에 나오는 summary 문제는 본문을 다시 읽지 않고 풀 수 있어야 합니다. Minor idea를 골라내는 훈련이 필요합니다.

2. LC

많이 듣는 수밖에 답이 없습니다. 단, 집중하면서 들읍시다.

운전하면서, 혹은 일하면서 이어폰꽂고 일에 집중하면서 듣는 것은 '흘려 듣는 것'을 연습하는 결과가 됩니다.

정규 교재 음질과 발음은 지나치게 질이 좋습니다. 실제 시럼장 음질 및 발음은 actual test 교재 정도 수준이더군요.

정규 교재 mp3에서 표현을 익히신 후 actual test 교재 음질 및 발음에 익숙해지시는 것이 좋습니다.

LC 단어는 복잡한 단어는 따로 외우지 않고, make up 과 같은 여기저기 갖다붙이는 숙어들 위주로 공부했습니다.

노트 테이킹은 명사 위주로 진행되게 됩니다.

Fact를 묻는 문제를 위해 First, second, on the other hand와 같은 지시어가 나오면 범주를 나누어 가며 노트테이킹합니다.

Infer 문제나 attitude 문제를 위해 교수가 well,... 하고 얼버부리는 등의 행동을 하면 집중합시다.

이런 signal들을 찾아내는 게 중요하다고 생각합니다.

실제 시험장에서는 재생 시간바가 표시됩니다. 강의가 어느 정도 진행되었는지 확인하는 것도 노트테이킹 구성에 도움이 됩니다.

단, 이미 풀고 넘어간 문제를 다시 풀 수 없으니 주의하세요.

3. Speaking

네...가장 걱정되었던 부분입니다. 스피킹 시험은 이번이 처음이었고, 공부하면서 가장 애먹었습니다.

팁을 드릴 수 있는 입장은 아니지만 제 고충을 좀 공유하고자 합니다. 아마 조금 짐을 덜게 되시지 않을까요.

제 경우 직장에서 외국인들과 대화하는것과, 심지어 영어로 업무 미팅을 하는데도 별 어려움은 겪지 않았지만 토플 스피킹에선 막히더라고요. 주로 사용되는 단어와 시제가 달라서 나타나는 현상입니다. 직장에서 외국인 친구들과 대화할 때는 보통 나중에 뭐 할지를 얘기하지 자기 경험을 주절주절 얘기하는 일은 거의 없습니다. 제가 좋아하는 가수가 누군지 얘기할 일은 더더욱 없고요.

제가 공부하면서 겪은 단계는 다음과 같습니다.

(1) 독립형 문제에서 뭘 말할지 몰라 멍하게 있는다. 통합형 문제에서 회화 내용을 기억하지 못한다. 적절한 단어가 갑자기 생각나지 않는다. 같은 문제를 10번 이상 풀어야 문장이 완성된다. 시제나 수일치는 생각할 겨를이 없이 막 내뱉는다.

아무 것도 준비가 안된 상태입니다. 좋아하는 영화감독 이름을 말하라는데 전 영화 잘 안보거든요. 감독 이름은 커녕 최근에 본 영화 이름도

생각이 안납니다. 사실 이런 건 브레인스토밍밖에 답이 없습니다. 저 같은 경우는 스티븐 스필버그와 미야자키 하야오로 준비했습니다. 존경하는 사람 같은 경우 대학원 선배 (good performance, generous personality)로 준비했고요.

독립형 노트테이킹? 템플릿 없으면 그거 할 시간 없습니다. 템플릿이 있어야 겨우 단어들 초성 쓰고 뭐 말할지 레이아웃 잡힙니다.

통합형의 경우 한국어로도 답안이 완성이 안되는 이유는 노트테이킹이 빈약해서입니다. 노트테이킹에 집중하느라 듣기를 흘리는 경우, 당황해서 듣기 따라가다가 노트테이킹 한 소주제 분량을 놓쳐버리는 경우에 이렇게 됩니다. 쓴게 없고 아는게 없으니 당연히 말할 게 없죠.

LC와는 달리 speaking 통합형 문제에서 노트 테이킹은 동사 위주로 진행되게 됩니다. 시간이 없으니 약어로 노트테이킹하게 되고요. 제 경우는 have to = hvt, increase류 동사는 대각선 화살표, remove계 동사는 돼지꼬리 화살표, 학생은 stu, 교수는 pf 등으로 정했습니다. 물론 헷갈리지 말아야겠죠. eff.가 effective인지 efficient인지 순간 망설이다가 멍때리는 경우가 생깁니다.

통합형 문제에서는 3번에서 suggest, notice, point out, argue 등의 동사를, 4번과 6번에서 실험 묘사가 나올 경우를 대비해 participants니 subject 등의 명사를 외워갑니다.

인토네이션은 이 단계에선 신경쓸 겨를이 없었습니다. 일단 이 단계에서는 45초 동안 어~ 밖에 못하는 상황을 막는게 우선이니까요.

답안은 잘 되었던 못되었던 무조건 녹음하고 다시 들어봅니다. '녹음하면 좋다'가 아니고 해야 하는겁니다.

(2) 독립형 template를 얻어 일부 문제에 적용할 수는 있으나 문제가 약간 뒤츨리면 멍해진다. 통합형 문제에서 틀이 파악된다. 적절한 단어는 노트테이킹에 사용된 것만 사용한다 (그마저도 약어를 알아보지 못한다). 같은 문제를 5~10번 풀어야 문장이 완성된다. 시제나 수일치를 생각하다가 말이 끊기고 침묵이 이어진다.

여기서 actual test speaing의 Eileen Kim 선생님 인강을 들었습니다. 이걸 좀만 빨리 들었으면 시간을 훨씬 절약할 수 있었을겁니다. 웬만한 상황에 다 들어맞는 Magic sentence 3개를 제시해서 일단 달달 외웠고, 몇 가지 딱 맞는 문제들에 대해서는 적용할 수 있게 되었습니다.

하지만 이 단계는 주어가 my friend 등으로 바뀌면 가차없이 (...) 털리는 단계입니다. 문제를 많이 풀어보고 적용하는 수 밖에 답이 없습니다. 인토네이션 같은 경우는 여기서 슬슬 신경쓰기 시작합니다. 저는 관계대명사 that을 강하게 발음하는 버릇이 있더라고요. 이런 단점들을 슬슬 고쳐야 합니다.

저는 여기서 일부 상황에 대한 template를 두개 정도 추가로 만들었습니다. 자존감을 느낄 수 있었다는 내용과 돈을 아낄 수 있었다는 내용으로요.

(3) 독립형 template들의 주어를 바꾸거나 template들의 문장들을 섞어가며 대부분의 문제를 답할 수 있다. 통합형 문제는 같은 문제를 2~5번 풀면 어느 정도 술술 답안이 나온다. 4번과 6번에서 알고 있는 주제가 나올 경우 한번에 답안이 나오기 시작한다. 시제나 수일치를 신경쓸 겨를이 생긴다.

이 단계 올 때까지 평일 8시부터 12시까지 4시간, 주말 아침 9시부터 밤 11시까지 식사시간 빼고 12시간 이렇게 3주동안 주구장창 스피킹만 했습니다. 이 단계가 되어야 다른 스피킹 팁들이 도움이 될 수 있습니다. 스피킹 대비는 이제부터입니다.

독립형에서는 이 단계에서 자기 경험을 간단하게나마 자유로이 말할 수 있게 됩니다. 물론 이걸로 45초는 커녕 20초도 힘드니까 텤플릿이 필요한 거지만 할 수 있다는게 어딥니까.

3, 5번 문제에서는 동사로 노트테이킹 후 템플릿에 맞추어 이야기 할 수 있게 됩니다. 사실 3, 5번이 제일 쉬워요. 5번의 자기 의견 같은 경우는 세부 내용 노트테이킹만 잘 되어 있으면 자동적으로 나오고, 안되면 그냥 제 경험상 더 좋습니다 라고 때우면 됩니다.

4, 6번 문제에서는 두 가지 예가 나오는 경우는 쉽지만 실험 묘사나, example이 한가지 나올 때 과정 묘사가 힘듭니다. 이 부분을 집중 연습해야 합니다.

독립형 template를 가능한한 빨리 확립하는 것이 중요합니다. 일단 입이 떨어져야 하거든요. 각 질문에 대해 개개별로 답안을 작성해보는 뻘짓을 하지 않았다면 시간을 좀 절약할 수 있었을것입니다.

4. Writing

토플 라이팅 통합형은 정말 쉽습니다. 불안하시면 template를 외워서 내용만 채워 넣으시면 됩니다.

문제가 되는 것이 있다면 역시 단어입니다. RC에서 단어학습을 소홀히 했다면 여기서 뽀록이 나게 됩니다.

예를 들어, increase의 동의어를 두 개 이상 끌어내기는 생각보다 쉽지 않습니다. 상황에 맞추어 surge나 rise 등을 사용할 수 있지만 문제는 그걸 시험장에서 즉각적으로 사용할 수 있느냐입니다.

통합형에서는 reading, listening 모두 노트 테이킹이 필요합니다. reading의 경우 한 문단에 1분 계산으로 각 문단 주제와 main supporting idea를 구 하나로 정리합시다. 눈으로만 읽는것보다 이 편이 이해에 빠릅니다. 무엇보다 3분 내로 다 읽는게 중요합니다. 그래야 reading의 각 문단을 하나하나 반박하는 listening이 수월해져요.

시제, 수일치를 신경쓰기 위해 마지막 3분 정도는 검토에 투자합시다.

독립형 역시 단어가 뒷받침되지 않으면 좋은 글을 쓸 수 없습니다. Good을 위해서는 400단어 이상이 필요한데, 충분한 단어가 뒷받침되지 않고서야 불가능합니다.

일단 stance를 빠르게 정하고, 무슨 내용을 쓸 건지 문단별로 정합니다.

이 때 주의해야 할 점은 본문의 문단끼리 내용이 겹쳐 같은 말을 반복하게 되는 경우가 생길 수 있다는 것입니다.

이를 막기 위해 layout때부터 확실히 경계선을 정합시다.

저의 경우는 (사회의 이점/개인의 이점), (감정적인 가치/물질적인 가치)와 같이 감정적/이성적 혹은 사회적/개인적으로 각 문단을 나누었습니다. 잘 써진다 싶으면 반대 의견 일부 인정 후 반박 들어가거나 정반합으로 들어가도 되고요.

ex) 물론 먼 미래를 준비하는 것도 인류에 도움이 될 수 있지만, 가까운 미래를 준비하는 것이 더 급하다 (반대 의견 일부 인정 후 반박) / 가까운 미래를 준비하는 것이 먼 미래를 준비하는 것으로 이어진다 (정반합)

5. 시험 당일

일찍 갑시다. 너무 일찍은 몸에 부담이 되니 30분~1시간 정도 일찍 가시면 됩니다.

일찍 가면 reading때 방해를 받게 되고, 늦게 가면 speaking때 압박을 받게 됩니다....어중간하게 가면 둘 다 방해받게 됩니다.

대부분 speaking이 약하실테니 차라리 reading때 방해받는게 낫습니다.

너무 길어졌네요. 세줄 요약 갑니다.

1. 무엇보다 단어.

2. 노트테이킹 잘하자.

3. 스피킹은 처음 보는 토종 한국인이라면 일단은 무조건 템플릿.

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역시...단어군요.

초록이 열심히 봐야겠습니다.

우리 학생과 내기 했는데, 질순 없죠 ^^

못하더라도 정말 열심히 노력 했다는 것은 꼭 보여주고 싶네요.